Новейший справочник школьника. 5-11 классы

Пропорция – это равенство двух отношений. Например:

Основное свойство пропорции: произведение крайних членов пропорции равно произведению ее средних членов, то есть 5×30=6×25. Две взаимно зависимые величины называются пропорциональными, если отношение их величин сохраняется неизменным (коэффициент пропорциональности).

Таким образом, выявлены следующие арифметические действия:

точку на одну, две, три и т. д. позиции влево: 4,5 → 0,45 (дробь уменьшилась в 10 раз).

Периодическая десятичная дробь содержит бесконечно повторяющуюся группу цифр, называемую периодом: 0,321321321321.. .=0, (321)

Действия с десятичными дробями

Сложение и вычитание десятичных дробей выполняются так же, как и сложение и вычитание целых чисел, необходимо только записать соответствующие десятичные знаки один под другим. Например,

Умножение десятичных дробей

Свойства десятичных дробей

1. Десятичная дробь не меняется, если справа добавить нули: 4,5 = 4,5000.

2. Десятичная дробь не меняется, если удалить нули, расположенные в конце десятичной дроби: 0,0560000 = 0,056.

3. Десятичная дробь возрастает в 10, 100, 1000 и т. д. раз, если перенести десятичную точку на одну, две, три и т. д. позиции вправо: 4,5 → 45 (дробь возросла в 10 раз).

4. Десятичная дробь уменьшается в 10, 100, 1000 и т. д. раз, если перенести десятичную

Из двух дробей с одинаковыми знаменателями та больше, числитель которой больше:

Для сравнения дробей, у которых числители и знаменатели различны, необходимо расширить их, то есть привести к общему знаменателю. Рассмотрим, например, следующие дроби:

Таким образом, а следовательно

Действия с дробями

Расширение дроби. Значение дроби не меняется, если умножить ее числитель и знаменатель на одно и то же число, отличное от нуля. Например:

Сокращение дроби. Значение дроби не меняется, если разделить её числитель и знаменатель на одно и то же число, отличное от нуля. Например,

Сравнение дробей. Из двух дробей с одинаковыми числителями та больше, знаменатель которой меньше:

10) на 11: это только те числа, у которых сумма цифр, стоящих на нечетных местах, либо равна сумме цифр, стоящих на четных местах, либо отличается от нее на число, делящееся на 11.

Все целые числа (кроме 0 и 1) имеют минимум два делителя: 1 и самого себя. Числа, не имеющие других делителей, называются простыми числами. Числа, имеющие другие делители, называются составными (или сложными) числами.

1) на 2: если последняя цифра числа – ноль или делится на 2. Числа, делящиеся на два, называются четными, не делящиеся на два – нечетными;

2) на 4: если две последние цифры числа – нули или образуют число, которое делится на 4;

3) на 8: если три последние цифры числа – нули или образуют число, которое делится на 8;

4) на 3 и 9: число делится на 3, если его сумма цифр делится на 3. Число делится на 9, если его сумма цифр делится на 9;

5) на 6: если число делится на 2 и на 3;

6) на 5: число делится на 5, если его последняя цифра – ноль или 5;

7) на 25: если две последние цифры числа – нули или число, которое делится на 25;

8) на 10: если последняя цифра числа – ноль;

9) на 100: если две последние цифры – нули;

10) на 11: это только те числа, у которых сумма цифр, стоящих на нечетных местах, либо равна сумме цифр, стоящих на четных местах, либо отличается от нее на число, делящееся на 11.

(а ± b)2=а2 ± 2ab+b2;

(a+b)(a-b)=a2-b2;

(а ± b)3=а3 ± 3а2b+3аb2 ± b3:

(а ± b)(а2 ± аb+b2)=а3 ± b3.