Как не ошибаться. Сила математического мышления

Основное правило математической жизни гласит: если мироздание ставит перед вами сложную задачу, попытайтесь решить вместо нее более простую – с расчетом на то, что упрощенный вариант окажется настолько близким к первоначальной версии, что мироздание не станет возражать против такого решения.

Логика формирует узкий канал, по которому протекает многократно усиленная интуиция.

Каждый раз, когда вы видите, что больше хорошего – это не всегда лучше; когда вспоминаете, что невероятное часто случается при наличии достаточного количества шансов, и сопротивляетесь соблазнам, которые сулит вам балтиморский брокер; когда принимаете решение не просто на основании самого вероятного будущего, а целой совокупности возможных вариантов будущего; когда вы отбрасываете мысль о том, что убеждения группы должны подчиняться тем же правилам, что и убеждения отдельных людей; или когда вы просто находите комфортную когнитивную зону, в которой можете позволить своей интуиции бурно развиваться, опираясь на сеть путей, проложенных для нее формальной логикой, – во всех этих случаях без всяких формул, уравнений и графиков вы занимаетесь математикой, которая есть продолжение здравого смысла, но только другими средствами. Когда вам это пригодится? Вы уже используете математику с самого момента рождения и, по всей вероятности, никогда не прекратите этого делать.

математическая определенность – это одно, а более гибкие убеждения, которыми мы руководствуемся в повседневной жизни, – это другое, и мы должны по возможности регулировать разницу между тем и другим.

Пробовал. Не сумел. Не имеет значения. Снова попробуй. Снова не сумей. Не сумей лучше

Вы верите в две вещи, которые кажутся противоречащими друг другу. И вы приступаете к работе – шаг за шагом, очищая кисть, отделяя то, что вы знаете, от того, во что верите, удерживая в своем разуме две противоборствующие вещи рядом друг с другом и рассматривая каждую из них в негативном свете другой, – до тех пор пока не станет очевидной истина или то, что к ней ближе всего.

Принцип «доказывать днем и опровергать ночью» применим не только к математике. На мой взгляд, держать под напряжением все свои убеждения, социальные, политические, научные и философские, – это хорошая привычка. Верьте в то, во что вы верите, днем, но по ночам ищите доводы против самых ценных для вас предположений. Не обманывайте себя! Насколько это возможно, размышляйте так, будто вы верите в то, во что не верите. А если вам не удастся разубедить себя в существующих убеждениях, вы узнаете намного больше о том, почему вы верите в то, во что верите. Вы немного приблизитесь к доказательству.

Кстати, это полезное ментальное упражнение – совсем не то, о чем писал Фрэнсис Скотт Фицджеральд в эссе 1936 года The Crack-Up («Крушение»), когда вспоминал о собственной надломленности и чувстве безысходности: «Мне приходилось уравновешивать в себе сознание безнадежности моих усилий и необходимости продолжать борьбу»[340]. Более лаконично об этом сказал Сэмюэл Беккет: «Продолжать… не в состоянии. Но должен. Так что буду продолжать»

Зачем работать, ставя перед собой противоположные цели? Существует две веские причины. Прежде всего, вы все-таки можете оказаться неправы; если утверждение, которое вы считаете истинным, на самом деле ложное, все ваши усилия доказать его истинность окажутся тщетными. Опровержение по ночам – это своего рода страховка против огромных потерь.

Но существует и более глубокая причина. Если утверждение истинно и вы пытаетесь опровергнуть его, это вам не удастся. Нас приучили считать, будто неудача – это плохо, но на самом деле так бывает не всегда. Вы пытаетесь опровергнуть утверждение одним способом – и упираетесь в стену. Вы пытаетесь сделать это другим способом – и упираетесь еще в одну стену. При каждой попытке опровержения вы упираетесь в очередную стену, и, если вам повезет, эти стены начнут выстраиваться в определенную структуру, которая и предстанет как доказательство теоремы. Ведь если вы действительно поняли, что мешает вам опровергнуть теорему, велика вероятность, что благодаря способу, недоступному для вас прежде, вы поймете, почему теорема истинна.

когда вы упорно пытаетесь доказать теорему, вам следует доказывать ее днем и опровергать ночью. (Периодичность такого переключения не играет роли; говорят, что тополог Руперт Генри Бинг делил каждый месяц на две части: две недели он пытался доказать гипотезу Пуанкаре, а следующие две недели пытался найти контрпример

Принцип ex falso quodlibet – это именно то, что использовал капитан Джеймс Т. Кирк[337], чтобы вывести из строя андроидов-диктаторов. «Поставьте их в парадоксальную ситуацию – и их модули построения логического вывода дают сбой и выходят из строя», – говорит Кирк. «Но это нелогично», – печально отвечают андроиды, прежде чем отключаются их сигнальные лампочки